積分　1/(a^2+x^2)

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{x}^{2} \hspace{2}}dx }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ a\neq 0 $ }$

$3$\displaystyle{x=a\tan t\text{\hspace{5}} $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ とおいて置換積分を行う．すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}\rightarrow dx=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt}$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{a}^{2}{ \tan }^{2}t \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{ \tan }^{2}t \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\int { \cos }^{2}t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}}dt }$ 　 $3$\displaystyle{\hspace{10} \hspace{10} \hspace{10} }$ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet 1+{ \tan }^{2}t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}t \hspace{2}} $$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\int dt }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}t+C}$ 　　( $3$\displaystyle{C}$ :積分定数)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{\tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C}$

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最終更新日： 2023年10月4日

積分 1/(a^2+x^2)

積分　1/(a^2+x^2)